[放送大学]正多面体と素数(’21) 勉強法と単位取得のコツ

はじめに
章ごとの勉強方法
最後に

はじめに

この記事は前回の続きです。是非こちらもお読みください。

beppy.hatenablog.com

章ごとの勉強方法

まず、本講義は大きく分けると、以下のようになっています。

章	内容
1	正多面体の性質
2-5	群論
6-7	行列
8	射影
9-10	多項式
11-15	体

1章正多面体の性質

ここは高校数学の知識で乗り切れると思います。
復習をしつつ、なんとかついていってください。

2-5章群論

私は、 5章までの群論の基礎をどれだけ固められているか が、本講義を受講する上でのポイントだと感じています。
一つのマイルストーンとしては、5章の最後に出てくる 準同型定理とは何をするためのものなのか ということを、きちんと説明できることかなと思います。

次の、ヨビノリさんの代数学講座が、本当におすすめです。私は正直この講座がなければ、単位をとれなかったと思います。

yobinori.jp

もし2-5章の印刷教材、放送授業を見て勉強したうえでついていけなければ、こちらの動画の内容をマスターすることをお勧めします。

第1回で挙げられている、群論を学ぶ理由として「元と元の演算の結果の、入れ替わりの形・構造を考える」というというのを意識・理解できるだけでも、群論を学ぶ意味・モチベーションが全く違ってきます。

強いて言うと、第5回で挙げられている同値関係が、実例がなくわかりにくいかもしれません。
例えば、関係～を、三角形の相似として考えると、以下のようになります。
こうみると、結構当たり前のことを言ってるな？と感じるかもしれません。

関係	三角形の関係
反射律: a ～ a	三角形Aと三角形Aは相似（同じものなので）
対称律: a ～ b ならば b ～ a	三角形Aと三角形Bが相似なら、三角形Bと三角形Aが相似
推移律: a ～ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c	三角形Aと三角形B、三角形Bと三角形Cが相似なら、三角形Bと三角形Cが相似

是非ノートを取りながら、通して見てほしいと思います。

6-7章行列

5章までの知識が固められていれば、行列の知識があれば、6-7章は乗り切れると思います。
シラバスには 「入門線型代数('19)」を履修していることが望ましい。 と記載がありますが、可能なら、上位の 線型代数学（'17） も履修しておくと、より理解が深まると思います。

8章射影

2次元のものを1次元にどう落とし込むか
3次元のものを2次元にどう落とし込むか

ということを考えていきます。
図を書いてみると理解が深まると思います。
最後は、点に対する正多面体群の作用を考えていきます。

9-10章多項式

$RS^{0}$ , $RS^{1}$ , $RS^{2}$ はそれぞれ頂点の集合、辺の中点の集合、面の中心の集合ですが、

頂点(点)は0次元だから $RS^{0}$
辺は1次元だから $RS^{1}$
面は2次元だから $RS^{2}$

と覚えると良いです。

11-15章体

あとはここを乗り切れれば勝ちです。

環と体について

まずざっくりですが、以下を覚えましょう

今までは群という、 1つの演算が成り立つ世界 を考えていた
これからは、環という、 和と積2つの演算が成り立つ世界 を考える
環のなかでさらに、以下の条件を満たすものを体と呼ぶ
- 乗法の単位元1(≠0)を持つ
- 1でない任意の元が単元(環Aの元 $a\in{A}$ で、 $ab=ba=1$ となる元 $b\in{A}$ が存在する = 乗法の逆元が存在する)
なお、環Aのなかで、単元全体をで表す。
- つまり0は含まない

体の拡大と剰余環

体の拡大と剰余環の関係が、ぱっと見わかりにくいので、次の例を考えます。

複素数 $C$ は $R[X]/(X^{2}+1)$ に同型である

例えば、複素数の世界では、以下の計算が成り立ちます。 $\displaystyle (1+2i)\times(2+3i)=2+3i+4i-6=-4+7i$

次に、 $R[x]$ は、 $R$ を係数とする多項式全体 $R_{0}+R_{1}x+R_{2}x^{2}+R_{3}x^{3}+...$ です。
その多項式を、 $i$ を解に持つ $x^{2}+1$ で割った余りの世界を考えます。
2次式で割るので、余りは1次式となります。

ここで以下の計算を考えます。 $\displaystyle (1+2x)\times(2+3x)=2+3x+4x+6x^{2}=6x^{2}+7x+4$

$x^{2} + 1$ で割った余りの世界を考えているので、割ってみます $(6x^{2}+7x+4)/(x^{2}+1)=7x-4$

ここで $x$ を $i$ とすると、 $-4 + 7i$ となり、 $x^{2}+1=0$ の解である複素数を添加した世界に一致します。

以下のページが参考になります

有限体の計算

最後に試験対策として、有限体同士の演算に慣れておきましょう。

例えば有限体 $F_{4}$ とは、 $F_{2}=Z/2Z=\{0, 1\}$ の世界で、 $F_{2}$ の世界では解けない方程式(既約多項式) $x^{2}+x+1$ を使用して、以下を考えます。

$\displaystyle F_{2}[x]/(x^{2}+x+1)$

$F_{2}$ の世界では解けない方程式(既約多項式)とは、 $x^{2}+x+1$ には、 $F_{2}$ の世界の住人である $\{0, 1\}$ のなかには、代入して $=0$ となる解がない。ということです。(複素数の世界なら解が存在します。)

あとは、以下の手順で演算ができます。

$x$ の多項式として普通に計算する
$x^{2}+x+1$ で割って余りを出す
それぞれの項に対して $mod2$ を考える

例えば以下のようになります。

$\displaystyle 5x+4=x (5と4のそれぞれのmod2を考えた)\\ x^{3}=x^{3}/(x^{2}+x+1)=1$

以下のページが参考になります。
有限体の性質・計算について理解を深めてもらえればと思います。

最後に

もしこの説明が、理解の手助けとなれば幸いです。
ただ、通信指導・正直単位認定試験は、正直どこから何が出るか、全くわかりません。
通信指導は、前回も書きましたが、わからないことがあったら質問箱を活用しましょう。
単位認定試験は、高校幾何を復習したうえで、印刷教材の各章末問題にちゃんと完答できるまで勉強すれば、試験でぼろぼろになるということはない……と思います。

単位を取れてみれば大変ためになる講義ではありましたが、非常に苦しかったのも事実です。
私は、再試験の勉強中、たまたま知り合いが代数学（群論）の専門家であったことを知り、最終的には頼らなかったものの「いつでも聞ける人がいる」というのが心の大きな支えになり、なんとか最後までやり遂げることができました。

手放しでは勧められませんが、数学に自信のある方、チャレンジしたい方は、是非頑張ってください。応援しています。

技術と日常。

日々の気が付いたこと・気になったことを残しておきます。

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